W dyskusji do poprzedniego postu (który dotyczył zupełnie innego tematu) wywiązała się wymiana zdań, która nasunęła mi myśl, że może nie wszyscy Czytelnicy uważali na zajęciach z rachunku prawdopodobieństwa i dlatego warto napisać coś na ten temat.

Tych z Was, dla których najbliższe akapity będą oczywiste proszę o odrobinę zrozumienia i cierpliwości, „w nagrodę” na zakończenie postu podam Wam przykład rozważania, które dało mi bardzo dużo do myślenia, a Was też może uchronić przed błędną decyzją w przyszłości.
No ale do rzeczy :-)

Często w życiu mamy przed sobą różne możliwe drogi postępowania, z których każda wiąże się zarówno z pewną szansą osiągnięcia zysku, jak też ryzykiem poniesienia straty. Jak teraz ocenić, która z nich jest lepsza?

Niektórzy z Rodaków zdają się przy tej ocenie patrzeć tylko na kwotę możliwego zysku :-), inni na możliwe straty, jeszcze inni kombinują, jak z porównania obydwu tych wartości „wydedukować” czy warto, czy nie. Często niestety po prostu się gdyba, zapominając przy tym o uwzględnieniu prawdopodobieństwa wystąpienia każdego ze zdarzeń (strata lub zysk). Tutaj przydaje się pojęcie wartości oczekiwanej, lub inaczej nadziei matematycznej.
Dla wytłumaczenia o co chodzi załóżmy sytuacje, gdzie mamy do wyboru trzy różne strategie robienia biznesu (znawcy, wybaczcie mi wszystkie uproszczenia!! :-)), które z różnymi prawdopodobieństwami prowadzą do różnych wyników:
Strategia 1

  • z prawdopodobieństwem 65% osiągniemy zysk  w wysokości 290 jednostek
  • z prawdopodobieństwem 35% poniesiemy stratę w wysokości 530 jednostek

Strategia 2

  • z prawdopodobieństwem 14% osiągniemy zysk  w wysokości 122 jednostek
  • z prawdopodobieństwem 86% poniesiemy stratę w wysokości 9 jednostek

Strategia 3

  • z prawdopodobieństwem 99,9% osiągniemy zysk  w wysokości 39 jednostek
  • z prawdopodobieństwem 0,1% poniesiemy stratę w wysokości 40000 jednostek

Jeśli teraz masz wybrać jeden z tych sposobów, aby stał się on podstawą Twojego biznesu, który chcesz prowadzić przez dłuższy okres czasu, to zakładając że wszystkie one są dla Ciebie równie możliwe do zrealizowania, który z nich wybierzesz?

Tutaj z pomocą przychodzi wartość oczekiwana, którą obliczamy w ten sposób, że mnożymy każdy możliwy rezultat (straty ze znakiem minus) przez prawdopodobieństwo jego wystąpienia, a potem te wyniki dodajemy do siebie.  Otrzymana liczba to średni rezultat pojedynczego zastosowania takiej  strategii jakiego należy się spodziewać. Im częściej będziemy daną strategię stosowali, tym średnia faktycznie osiąganych wyników będzie zbliżona do wyliczonej przez nas wartości oczekiwanej.

I tak w naszych przykładach:

  • Strategia 1 : 0,65*290-0,35*530 = 188,5-185,5 = 3 (zysk)
  • Strategia 2:  0,14*122-0,86*9 = 17,08-7,74 = 9,35 (zysk)
  • Strategia 3 : 0,999*39-0,001*40000 = 38,96-40 = -1,04 (strata!!)

No, którą strategię teraz wybierzecie? :-)
Całe zagadnienie rachunku prawdopodobieństwa jest niezwykle interesujące (dziedzina ta powstała przecież „na zamówienie” hazardzistów :-)) i gorąco polecam przynajmniej powierzchowne „liźnięcie” tego tematu jeżeli ktoś nie miał tego na studiach, albo tak jak ja prześliznął się przez egzamin :-). Nie chodzi nawet o dogłębne studiowanie formuł matematycznych, lecz przynajmniej o ogólne pojęcie jakimi prawami rządzą się zdarzenia, w których występuje element przypadku (więc prawie wszystkie :-))

Teraz obiecana część dla Czytelników, dla których powyższe było znane i oczywiste.

Po pierwsze polecam Wam lekturę książki „Fooled by Randomness„, której autorem jest Nassim Nicholas Taleb. Znajdziecie tam wiele interesujących przemyśleń, które rozszerzą Wasze horyzonty w tym zakresie. Dla wszystkich, którzy nie będą mieli okazji lub czasu sięgnąć po tę pozycję pozwolę sobie przytoczyć z niej jeden przykład, który szczególnie dramatycznie do mnie przemówił:

Załóżmy , że mamy badanie medyczne, które wykrywa u pacjenta pewną poważną chorobę. Badanie to na pewno stwierdza chorobę u pacjenta (brak false negatives), który na nią cierpi, jednak w 5% przypadków badania stwierdza istnienie choroby u pacjenta, mimo iż nie cierpi on na nią (tzw. false positives). W całej populacji na tę chorobę cierpi 0,1% czyli jedna osoba na tysiąc. W ramach akcji prewencyjnego badania całej populacji zostałeś przebadany tą metodą i wykazała ona, że jesteś chory. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzeczywiście cierpisz na tę chorobę i musisz poddać się skomplikowanej terapii o wielu skutkach ubocznych?

Większość zapytanych lekarzy (ja zresztą też :-( ) odpowiedziała że 95%, co jest odpowiedzią błędną, bo mamy tutaj do czynienia z prawdopodobieństwem warunkowym dwóch zdarzeń „jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany losowo z danej populacji człowiek u którego badanie wykazało chorobę jest rzeczywiście na nią chory”, a to wynosi 2% !!

Tutaj możecie znaleźć wzory do policzenia tego, Taleb podaje dość klarowny sposób wyliczenia tego, który łatwo zrozumieć:

Przy założeniach jak powyżej, na tysiąc losowo wybranych i przebadanych ludzi należy spodziewać się, że jeden z nich jest chory. Z pozostałych 999 osób u 5% badanie wykaże chorobę, mimo, że są zdrowi. To daje 50 osób. W sumie badanie stwierdzi chorobę u 51 ludzi, z których tylko jeden jest faktycznie chory!!! W związku z tym prawdopodobieństwo, że ktoś, komu test wykazał chorobę rzeczywiście na nią cierpi wynosi 1/51 czyli ok 2%. A to jest kolosalna różnica w stosunku do 95%!! Teraz wyobraź sobie, że lekarz zmamiony tymi 95% każe Ci np. coś odciąć!!

PS: Teraz zaobserwowałem, że przy danych założeniach przeprowadzenie badania dwudziestokrotnie zwiększa prawdopodobieństwo trafnego wytypowania prawdziwego chorego w stosunku do przypadkowego wskazania palcem dowolnej osoby i powiedzenia „ty jesteś chory”. Czy to dużo, czy mało niech każdy sobie wyinterpretuje.
Zapraszam do własnych przemyśleń i komentarzy.